함수의 개수를 세는 문제는 고등학교 수학에서 경우의 수와 함수의 정의를 동시에 묻는 대표적인 유형입니다. 특히 일대일함수 개수구하기는 단순히 공식을 암기하는 것만으로는 풀리지 않고, 정의역과 공역의 원소를 어떻게 연결할지 먼저 설계해야 합니다. 이 글에서는 핵심 공식부터 조건이 붙은 문제에서 쓰는 계산 순서까지 정리합니다. 지난 학기 중간고사에서 이 주제를 틀렸던 경험을 바탕으로 실수를 줄이는 팁도 함께 준비했습니다.
목차
일대일함수 개수구하기 핵심 정리
| 상황 | 계산식 | 예시 |
|---|---|---|
| 일대일함수 전체 | nPm | 정의역 3개, 공역 5개일 때 5P3으로 계산 |
| 특정 함숫값 고정 | (n-1)P(m-1) | f(a)가 b로 정해지면 남은 입력과 남은 출력의 순열 |
| f(1)이 1이 아닌 조건 | nPm – (n-1)P(m-1) | 전체에서 f(1)이 1인 경우를 제외 |
| 두 개의 부정 조건 | 여사건의 포함 배제 | f(1)이 1 또는 f(2)가 5인 경우를 빼고 다시 더함 |
위 표에서 가장 먼저 확인할 것은 정의역의 원소 개수와 공역의 원소 개수를 n과 m에 정확히 넣는 일입니다. 일대일함수는 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가야 합니다. 그래서 공역에서 먼저 m개의 서로 다른 원소를 고르고, 그다음 정의역의 원소에 순서대로 배정하는 구조입니다. 이것이 바로 순열입니다. 공역의 원소 개수를 n, 정의역의 원소 개수를 m이라고 하면 전체 일대일함수 개수는 nPm으로 계산합니다. m이 n보다 크면 일대일함수 자체가 존재하지 않으므로 답은 0이 됩니다.
조건이 있는 문제는 분할해서 푼다
문제에는 특정 함숫값이 고정된 조건이 자주 등장합니다. 예를 들어 f(a)가 b처럼 한 원소의 함숫값이 정해지면, 그 조건은 전체 문제를 두 개의 하위 문제로 나누는 기준이 됩니다. a는 이미 b로 정해졌으므로 남은 정의역 원소는 m-1개이고, 사용할 수 있는 공역 원소는 b를 제외한 n-1개입니다. 따라서 남은 원소들을 서로 다른 출력에 연결하는 경우의 수는 (n-1)P(m-1)입니다.
특정 함숫값이 고정된 조건
f(1)이 2처럼 하나의 함숫값이 고정되면 나머지 정의역 원소들이 서로 다른 출력을 가져야 합니다. 예를 들어 정의역의 원소가 3개이고 공역의 원소가 5개일 때, f(1)이 2로 정하면 남은 입력은 2개입니다. 출력 후보는 2를 제외한 4개이므로 일대일함수의 개수는 4P2로 계산합니다. 이때 고정된 값이 두 개라면 남은 입력은 m-2개, 남은 출력은 n-2개가 되므로 (n-2)P(m-2)로 계산합니다. 고정된 조건은 독립된 하위 문제로 분리된다는 점이 핵심입니다.
특정 값이 아닌 조건은 전체에서 빼기
f(1)이 1이 아닌 조건처럼 특정 함숫값을 가지면 안 되는 경우는 전체에서 조건이 성립하는 경우를 빼는 방식이 자연스럽습니다. 전체 일대일함수의 개수에서 f(1)이 1인 개수를 제외하면 되기 때문입니다. 이때 f(1)이 1인 경우는 남은 정의역 원소 m-1개를 공역에서 1을 제외한 n-1개의 원소에 배정하는 순열로 계산합니다. 그래서 정답은 nPm에서 (n-1)P(m-1)을 뺀 값이 됩니다.
두 개 이상의 부정 조건을 동시에 만족해야 한다면 여사건을 더 주의해서 처리합니다. 예를 들어 f(1)이 1이 아니고 f(2)가 5가 아닌 조건이라면, 여사건은 f(1)이 1 또는 f(2)가 5인 경우가 됩니다. 전체에서 f(1)이 1인 경우와 f(2)가 5인 경우를 빼고, 두 조건이 동시에 성립하는 f(1)이 1이고 f(2)가 5인 경우를 다시 더해 주면 됩니다. 포함 배제의 원리입니다.
실전 경험으로 배운 실수 줄이는 습관
지난 학기 중간고사에서 저는 정의역과 공역을 반대로 두고 순열을 계산하는 실수를 했습니다. 문제에서 정의역의 원소가 3개이고 공역의 원소가 5개가 아니라 반대로 제시되어도 공역의 개수가 n, 정의역의 개수가 m이라는 기준을 그대로 적용해야 합니다. 이후에는 문제를 풀기 전에 입력이 몇 개인지, 출력 후보는 몇 개인지를 먼저 문장으로 쓰고 시작했습니다. 예를 들어 입력은 3개, 출력 후보는 5개, 따라서 5P3처럼 짧게 적는 습관만으로도 실수가 크게 줄었습니다.
또한 조건이 고정값인지 부정 조건인지를 표시해 두고, 고정값은 남은 입력과 남은 출력의 순열로 처리했습니다. 부정 조건은 전체에서 해당 경우를 빼는 방식으로 접근했습니다. 마지막에는 공역의 원소 개수가 정의역보다 크거나 같은지, 고정된 함숫값끼리 겹치지 않는지, 남은 공역 원소가 부족하지 않은지 세 가지만 확인했습니다. 이 점검 순서를 지키면서 함수 개수 문제에서 오답률이 확실히 낮아졌습니다.
역함수 존재 조건과 일대일함수 연결
대수적으로 역함수가 존재하려면 함수가 일대일대응이어야 합니다. 정의역과 공역의 원소 개수가 같고 일대일함수이면 자동으로 치역이 공역 전체가 됩니다. 따라서 m이 n과 같을 때 전체 일대일함수 개수는 nPn으로 계산되고, 이 값이 일대일대응의 개수와 같아집니다. 고난도 문제에서는 구간별로 정의된 함수가 역함수를 가지도록 상수를 정하는 상황이 나옵니다. 왼쪽 조각과 오른쪽 조각의 치역이 겹치지 않으면서 전체 공역을 빠짐없이 채우는지 확인해야 합니다. 이때 일대일함수 개수구하기에서 배운 서로 다른 입력은 서로 다른 출력이라는 기준을 각 구간에도 그대로 적용합니다.
마무리
지금까지 함수 개수 문제의 기본 공식, 특정 함숫값 고정, 부정 조건 처리, 역함수 존재 조건까지 정리했습니다. 가장 중요한 흐름은 정의역과 공역을 먼저 구분하고, 고정된 조건이 문제를 분할하는 기준이 된다는 점입니다. 부정 조건이 겹치면 전체에서 빼고 다시 더하는 포함 배제를 사용하고, 역함수 조건이 붙으면 치역이 공역 전체를 채우는지 확인해야 합니다. 앞으로 함수 개수 문제를 만나면 공식을 외운 기분보다 설계하는 기분으로 접근하시길 바랍니다. 그래야 새로운 조건이 나와도 당황하지 않고 차분하게 답을 구할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
Q: 함수 개수 문제에서 m과 n이 헷갈릴 때는 어떻게 하나요?
A: 정의역의 원소가 입력이고 공역의 원소가 출력 후보입니다. 서로 다른 입력끼리는 서로 다른 출력으로 가야 하므로, 출력 후보 n개 중에서 입력 m개에게 나누어 주는 순열로 보면 됩니다.
Q: f(1)이 2처럼 함숫값이 고정된 문제는 어떻게 푸나요?
A: f(1)이 2로 정해진 것으로 보고 남은 입력 m-1개와 남은 출력 n-1개의 순열로 계산합니다. 그러면 (n-1)P(m-1)이 됩니다.
Q: f(1)이 1이 아닌 조건은 왜 전체에서 빼나요?
A: 전체 일대일함수 중에서 f(1)이 1인 경우만 제외하면 되기 때문입니다. 두 부정 조건이 겹치면 여사건의 합집합 개수를 포함 배제로 계산해야 합니다.
